سپس به بررسی روابط اپتیک غیر خطی که در پدیده دوپایایی کاربرد دارند پرداخته میشود وسپس رفتار دوپایایی نوری سیستمهای اتمی مختلف مورد بررسی قرار میگیرد. ابتدا در فصل سوم از یک سیستم دوترازی استفاده میشود. در سیستم دو ترازی با محدودیتهای از قبیل اختلاف فاز محدود برای ایجاد دوپایایی، روبرو هستیم. و سپس در فصل سوم سیستم سه ترازی مطالعه میشود که با استفاده از کنترل فاز بین دو میدان کاوشگر و کنترلی، در حضور اثر تداخل کوانتومی، میتوان سیستم را از حالت دوپایا به حالت چندپایا برد.
در فصل چهارم دوپایایی نوری در سیستمهای اتمی سه ترازی درون مشددهای نوری بطور تئوریکی مطالعه شده است .یکی از فواید بکارگیری سیستم اتمی سه ترازی بجای دوترازی این است که اتم ها بصورت یک محیط غیرخطی در یک مشدد نوری، بکارگیری همدوسی اتمی ایجاد شده در سیستم اتمی سه ترازی را که جذب، پاشندگی و غیرخطیت سیستم را به شدت تحت تاثیر قرار می دهد ممکن می سازد و بخوبی معلوم شده است که همدوسی ناشی از گسیل خودبخودی می تواند با گسیل یک تراز تحریکی به دو تراز اتمی نزدیک به هم یا دو تراز نزدیک به هم به یک تراز تحریکی ایجاد شود. این همدوسی در یک سیستم اتمی نوع آبشاری میتواند در مورد ترازهای اتمی تقریباً هم فاصله اتفاق بیافتد. ترازهای نزدیک تبهگن، یک جمله همدوسی ناشی از اندرکنش با خلاء میدان تابشی دارند.
در فصل پنج رفتار دوپایایی نوری را در سیستمهای اتمی پنج ترازی در حضور میدان های همدوس لیزری بررسی می کنیم. سیستم پنج تراز ی که تا کنون دوپایایی آن بررسی شده است سیستم کوبراک- رایس1 است. علاوه بر آن در این فصل پدیده دو پایایی نوری در یک سیستم اتمی پنج ترازی -M شکل با سه میدان جفت کننده و یک میدان کاوشگر را در یک کاواک حلقوی یکسویه بررسی میکنیم سیستم اتمی پنج ترازی- M شکل بیشتر از جنبههای نشر خودبخودی ترازها و فوتو آشکار ساز با طول موج پایین مورد توجه بوده است. نشان می دهیم که آستانه دوپایایی به شدت میدان های اعمالی بر سیستم وابسته است، همچنین با تغییر در شدت میدانها ی جفت کننده به چند پایایی نیز میرسیم.
با توجه به تشابه بسیاری از روابط و نتایج رفتار دوپایایی نوری در سیستم چهار ترازی و سایر سیستم های اتمی بررسی شده، بخاطر اختصار و جلوگیری از تکرار، از نوشتن بخشی با عنوان رفتار دوپایایی سیستمهای چهارترازی خودداری کردهایم. اما بخاطر جدید بودن و مطالعه سیستم های پنجترازی در ماههای اخیر، این سیستمها نیز بررسی شده است.
در بررسی دوپایایی نوری در انواع سیستم های نوری، در مورد جذب و پاشندگی اتمها بحث خواهد شد و منحنیهای جذب و پاشندگی را با تغییر در شدت میدانهای جفت کننده بررسی میشود.
فصل اول

مفاهیم بنیادی
مقدمه
این فصل را به مفاهیمی از مکانیک کوانتومی اختصاص می دهیم که در محاسبات مورد نیاز هستند. هدف از این کار آشنایی با مسیری مشخص برای مطالعه پدیده دوپایایی نوری است، نه مطالعه قوانین کوانتومی، لذا در بعضی موارد به ذکر مختصری از قوانین مکانیک کوانتومی اکتفا میشود. سعی میشود آنجایی که نقش مهمی در محاسبات بعدی را دارد، بیشتر توضیح داده میشود.
1-1 اختلال
یکی از قوانین اسا سی مکانیک کوانتومی اینست که می توان تمام ویژگیهای یک سیستم اتمی را بر اساس تابع موج اتمی توصیف کرد که از معادله شرودینگر بصورت زیر بدست میآیند:
(1-1) iℏ ∂Ψ/∂t=H Ψ
ویژه حالتهای یک سیستم اتمی و همچنین ویژه مقادیر یک سیستم اتمی را می توان از معادله شرودینگر بدست آورد.
H عملگر هامیلتونی است که برای یک سیستم اتمی دارای برهمکنش، شامل دو جمله خواهدبود.
(1-2) H ̂=H ̂_0+λV ̂_((t))
H_0 هامیلتونی اتم آزاد و 〖λV〗_((t)) هامیلتونی برهمکنش اتم است. λ پارامتر اختلال نامیده می شود که بیانگر شدت اختلال است و عددی بین صفر تا یک را دارد. λ=1 برای یک بر همکنش کامل در نظر گرفته می شود.
درصورتی که اتم بدون برهمکنش در نظرگرفته شود، جوابهای معادله شرودینگر بصورت زیر هستند:
(1-3) Ψ_n (r,t)=u_n (r) e^(-iω_n t)
که شامل دو قسمت زمانی و فضایی است. قسمت فضایی در معادله ویژه مقداری زیر که معادله مستقل از زمان شرودینگر نامیده می شود، صدق می کند
(1-4) H_0 u_n (r)=E_n u_n (r)
و E_n=ℏω_n ویژه مقادیر معین انرژی اتم هستند.
جوابهای قسمت فضایی یک مجموعه متعامد کاملی را تشکیل می دهند و شرط تعامد زیر را ارضاء میکنند
(1-5) ∫▒〖u_m^* u_n d^3 r=δ_mn 〗
برای یک اتم در برهمکنش با میدان الکتریکی، هامیلتونی برهمکنشی بصورت زیر می باشد:
(1-6) V ̂_((t))=-μ ⃗ . E ⃗_((t))
که μ ⃗ گشتاور دوقطبی اتم است و بصورت زیر تعریف میشود:
(1-7) μ=-er ⃗_((t))
جوابهای معادله شرودینگر با در نظر گرفتن اختلال بصورت زیر است:
(1-8) Ψ_((r,t))=Ψ_((r,t))^((0))+λΨ_((r,t))^((1))+λ^2 Ψ_((r,t))^((2))+…
Ψ^N قسمتی از جواب معادله شرودینگر است که در انرژی بر همکنش V از مرتبه N ام است.
برای بدست آوردن مرتبه های مختلف جواب معادله شرودینگر معادله ( 1- 8) را در معادله ( 1- 1) قرار می دهیم و تمام جملات متناسب با توان یکسان از λ را مساوی هم قرار می دهیم، برای λ ی با توان صفر داریم:
(1-9) iℏ((∂Ψ^((0) ))⁄∂t)=H ̂_0 Ψ^((0))
که جواب معادله شرودینگر برای اتم بدون برهمکنش است. برای سایر مرتبه های اختلال، یک جواب کلی به صورت زیر بدست می آید:
(1-10) iℏ (∂Ψ^N)/∂t=H ̂_0 Ψ^((N))+V ̂Ψ^((N-1))
فرض می کنیم جواب معادله شرودینگر در غیاب جمله برهمکنشی بصورت زیر است:
(1-11) Ψ_((r,t))^((0))=u_g (r) e^(-iE_g t/ℏ)
که در اینجا E_g و u_g ویژه مقدار انرژی و ویژه تابع فضایی اتم در حالت پایه می باشند. با توجه به اینکه ویژه توابع انرژی اتم بدون برهمکنش مجموعه کامل و متعامدی را تشکیل می دهند و می توان هرتابعی را بر حسب آنها بسط داد، تابع موج مرتبه N ام از برهم کنش را به وسیله آنها میتوان بصورت زیر بسط داد.
(1-12) Ψ_((r,t))^((N))=∑_l▒a_l^((N) ) (t) u_l (r) e^(-iω_l t)
که ضریب a_l^((N) ) (t) ، دامنه احتمال آن است که اتم در مرتبه N ام اختلال، در لحظه t و در ویژه حالت l باشد.
با قرار دادن معادله ( 1- 12) در معادله ( 1- 10) ، دستگاه معادلاتی بر حسب دامنه های احتمال بدست می آید:
(1-13) iℏ∑_l▒〖a ̇_l^((N) ) u_l 〗 (r) e^(-iω_l t)=∑_l▒〖a_l^((N-1)) V ̂u_l (r) e^(-iω_l t) 〗
این معادله دامنه های احتمال مرتبه N ام را به دامنه های احتمال مرتبه (N-1) ام مرتبط می سازد.
با ضرب دوطرف معادله( 1-13) در u_m^* و انتگرال روی تمام فضا و با استفاده از شرط تعامد توابع پایه معادلات زیر بدست میآیند:
(1-14) a ̇_m^((N))=〖(iℏ)〗^(-1) ∑_l▒〖a_e^((N-1)) V_ml e^(iω_ml t) 〗
که در آن ω_ml=ω_m-ω_l و V_ml به شکل زیر تعریف میشود:
(1-15) V_ml=〖<u〗_m |V ̂ | u_l> =∫▒〖u_m^* (V ) ̂ 〗 u_n d^3 r
که در واقع عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال هستند.
برای مشخص کردن دامنه های مرتبه اول a_l^((1) ) (t) فرض می کنیم سیستم اتمی در مرتبه صفرم ( بدون اختلال) در حالت پایه، g باشد، در نتیجه a_l^((0) )=δ_lg می باشد.
با استفاده از معادلات (1- 3) و ( 1- 15) عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال را بصورت زیر میتوان نوشت:
(1-16) V ̂_ml=-μ_ml .E_((t))
که در آن عبارت μ_ml به شکل زیر نوشته میشود:
(1-17) μ_ml=∫▒〖u_m^* μ ̂ 〗 V_l d^3 r= <u_m |μ| u_n>
و گشتاور دو قطبی گذار نامیده می شود.
حال با جایگذاری روابط اخیر در معادله (1- 14)، دامنه احتمال با استفاده از انتگرال گیری بدست میآید، با فرض اینکه حد پایین انتگرال صفر است.
(1-18- الف) a ̇_n^((N)) (t)=〖(iℏ)〗^(-1) ∑_e▒∫_(-∞)^t▒V_ml ((t)) ́a_e^((N-1)) ((t)) ́e^(iω_ml t ́ )
(1-18- ب) a ̇_n^((1) ) (t)=1/ℏ ∑_m▒〖(μ_mg. E_((t)))/ω_mg e^(iω_mg t) 〗
دوباره از معادله (1- 14) استفاده می کنیم و با استفاده از دامنه احتمال مرتبه اول، دامنه احتمال مرتبه دوم به دست میآید:
(1-19) a_n^((2) ) (t)=1/ℏ^2 ∑_pq▒∑_m▒〖[μ_nm . E_(〖(ω〗_q)) ][μ_mg . E_(ω_p ) ]/(ω_ng-ω_p-ω_q )(ω_mg-ω_p ) e^(〖i(ω_ng-ω_p-ω_q)〗^t ) 〗
این عمل را تکرار می کنیم و دامنه احتمال مرتبه سوم را حساب می کنیم
(1-20) a_ν^((3) ) (t)=1/ℏ^3 ∑_pqr▒〖∑_mn▒[μ_νn E_((ωr) ) ][μ_nm .E_((ωq) ) ][μ_mg . E_((ωp) ) ]/((ω_νg-ω_(p-) ω_q-ω_r )(ω_ng-ω_p-ω_q )(ω_mg-ω_p)) e^(〖i(ω_(νg-) ω_(p-) ω_q-ω_r)〗^t ) 〗
و این عمل برای بدست آوردن دامنه احتمال مرتبه های بالاتر، تکرار میشود.
1-2 پذیرفتاری
نتایج به دست آمده از بخش قبل برای محاسبه پذیرفتاری یا همان ویژگیهای نوری یک سیستم مادی به کار برده میشود.
مقدار چشمداشتی گشتاور دو قطبی الکتریکی عبارت است از:
(1-21) <P>= <Ψ|μ ̂ |Ψ>
Ψ توسط بسط اختلال با λ=1 ، بیان می شود، قسمتی از <p> که رابطه خطی با میدان دارد، با رابطه زیر بیان میشود:
(1-22) <P^((1))> = <Ψ^((0)) |μ ̂ | Ψ^((1) )>+<Ψ^((1)) |(μ|) ̂Ψ^((0) )>
با جایگذاری Ψ^((0)) و Ψ^((1)) از روابط (1- 11) ، (1- 12) ، (1- 18) مقدار چشمداشتی مرتبه اول گشتاور دو قطبی الکتریکی بصورت زیر می شود:
(1-23) <P^((1))> =1/ℏ ∑_p▒∑_m▒〖 ( (μ_gm [μ_mg . E_((ω_P ) ) ])/((ω_mg-ω_p)) e^(-iω_p t) 〗+(〖[μ_mg .〖 E〗_((ω_P ) )]〗^* μ_mg)/((ω_mg^*-ω_p)) e^(iω_p t) )
بسامد گذار ω_mg بصورت موهومی در نظر گرفته شده است و روی تمام قسمتهای مثبت ومنفی بسامد ω_p جمع بسته شده است.
اگر در جمله دوم ω_p را به 〖-ω〗_p تغیر دهیم، نتیجه ساده تر خواهد شد.
(1-24) <P^((1))> =1/ℏ ∑_p▒∑_m▒〖 ( (μ_gm [μ_mg . E_((ω_P ) ) ])/((ω_mg-ω_p))〗+([μ_mg .E_((ω_P ) )]μ_mg)/((ω_mg^*+ω_p)) )e^(-iω_p t)
قطبش خطی را بصورت p^((1))=N<p^((1))> در نظر می گیریم که N چگالی تعداد اتمهاست. همچنین برای پذیرفتاری خطی داریم:
(1-25) p_i^((1) ) (ω_p )=∑_j▒〖χ_ij^((1)) E_j (ω_p)〗
و در نتیجه:
(1-26) χ_ij^((1) ) (ω_p )=∑_m▒〖N/ℏ ((μ_gm^i μ_mg^j)/(ω_mg-ω_p )〗+(μ_gm^j μ_mg^i)/(ω_mg^*+ω_p ))
قطبش p_((t)) یا همان گشتاور دوقطبی در واحد حجم ماده بستگی به شدت میدان نوری اعمال شده دارد، در اپتیک خطی این وابستگی خطی است یعنی قطبش متناسب توان اول شدت میدان نوری است، این تناسب با ضریبی بنام پذیرفتاری خطی به تساوی تبدیل می شود.
(1-27) p_((t))=χ^((1)) E_((t))
در اپتیک غیر خطی قطبش متناسب با توانهای بالاتر شدت میدان نوری اعمال شده خواهد بود و رابطه بین قطبش و میدان نوری به صورت زیر خواهد بود:
(1-28) p_((t))=χ^((1)) E_((t))+χ^((2)) E_((t))+χ^((3)) E_((t))+…=p_((t))^((1))+p_((t))^((2))+p_((t))^((3))+…
کمیتهای χ^((2)) و χ^((3)) به ترتیب پذیرفتاری نوری غیر خطی مرتبه دوم و سوم هستند. χ^((1)) یک تانسور مرتبه دو وχ^((2)) یک تانسور مرتبه سه و… می باشند. همچنین p_((t))^((2)) قطبش غیر خطی مرتبه دوم و p_((t))^((3)) قطبش غیر خطی مرتبه سوم هستند. پذیرفتاری مرتبه دوم برای بسیاری از مواد قابل صرف نظر کردن است، زیرا برای بلورهای اتفاق می افتد که دارای مرکز تقارن نباشند، در صورتی که بسیاری از مواد دارای مرکز تقارن هستند.
1-3 ماتریس چگالی :
از یک سیستم کوانتومی شروع می کنیم و فرض میکنیم که در حالت کوانتومی خاص مانند s قرار دارد، تابع موج این حالت تمام خصوصیات فیزیکی سیستم را در بر دارد و در رابطه شرودینگر صدق می کند:
(1-29) iℏ((∂Ψ_s (r,t))⁄∂t)=H ̂Ψ_s (r,t)
که H ̂ هامیلتونی سیستم است وشامل دو قسمتH_0 هامیلتونی اتم بدون اندرکنش و V_t هامیلتونی اندرکنش اتم، می باشد.
(1-30) H ̂=H ̂_0+V_((t))
از آنجایی که ویژه حالتهای انرژی هامیلتونی بدون برهمکنش سیستم اتمی، یک مجموعه کامل از توابع پایه راست هنجار را تشکیل می دهند، می توان توابع موج سیستم با تحول زمانی را برحسب آنها بسط داد. یعنی:
(1-31) Ψ_s (r,t)=∑_n▒〖C_n^s (t) 〖 u〗_n (r)〗
که در آن u_n (r) ها ویژه حالتهای انرژی معادله شرودینگر مستقل از زمان هستند که در رابطه H_0 u_n (r)=E_n u_n (r)
و نیز در رابطه راست هنجاری صدق می کند:
(1-32) ∫▒〖u_m^* (r) u_n (r) d^3 r〗=δ_mn
دامنه احتمال آنکه اتم در لحظه t در ویژه حالت s باشد، با ضریب C_n^s (t) نشان داده شده است. و برای مشخص کردن آنها بسط (1- 31) را در معادله شرودینگر قرار می دهیم:
(1-32) iℏ∑_n▒〖(dC_n^s (t))/dt= ∑_n▒〖C_n^s (t) 〗 H ̂u_n (r)〗
طرفین رابطه بالا را در u_m^* (r) ضرب می کنیم و روی تمام فضا انتگرال می گیریم، سمت چپ با استفاده از شرط تعامد به یک جمله کاهش می یابد و به شکل زیر به دست می آید:
(1-33) iℏ d/dt C_m^s (t)=∑_n▒〖H_mn C_n^s (t)〗
که در آن H_mn عناصر ماتریسی هامیلتونی بوده و که به صورت زیر نوشته می شوند:
(1-34) H_mn=∫▒〖u_m^* (r) H ̂u_n (r) d^3 r〗
لزوم تعریف ماتریس چگالی زمانی دیده میشود که معادلات بالا نتوانند جواب معادله شرودینگر را بدست آورند. وقتی که سیستم متشکل از چندین ذره باشد یا وقتی که سیستم اثرات ناهمدوسی مثل گسیل خودبخودی داشته باشد، عملاً معادله شرودینگر کارآیی ندارد.
مجموعهای از سیستمهای اتمی را که همگی در یک حالت کوانتومی یکسان مثل |Ψ_s> باشند را مجموعه خالص می نامیم و همچنین مجموعهای از سیستمها ی اتمی که در حالتهای کوانتومی مختلفی باشند مثلاً 10% آنها در حالت |Ψ_s1> و70% آنها در حالت |Ψ_s2> و20% آنها در حالت |Ψ_s3> با شند را مجموعه آمیخته می نامیم. در مجموعه آمیخته درصد حالتها را وزن آماری می نامند.
برای بدست آوردن مقدار چشمداشتی یک کمیت فیزیکی وقتی سیستم در یک حالت کوانتومی قرار داشت از رابطه زیر استفاده می کنیم:
(1-35) <A> =<Ψ|A|Ψ>
ولی در مجموعه سیستهایی که هر کدام یک حالت کوانتومی دارند، مقدار چشمداشتی را بصورت زیر تعریف می کنیم:
(1-36) [A]=∑_i▒〖ω_i<Ψ_i |A| Ψ_i>〗
و آن را متوسط مجموعهای مشاهده پذیر A مینامیم.
می توانیم متوسط مجموعه ای را برحسب ویژه حالتهای یک مشاهده پذیر دیگر مثل B بنویسیم
(1-37) [A]=∑_i▒〖∑_((b , ) ́b^”)▒〖ω_i<Ψ_(i ) | (b>) ́ 〗<(b |) ́A|〗 b^”><b^” |Ψ_i>
و با کمی جابجایی داریم:
(1-38) [A]=∑_(b ́, b^”)▒〖∑▒〖ω_i<b^” | Ψ_i><〗 Ψ_i |b ́><b ́|A| b^”>〗
حال با تعریف ماتریس چگالی بصورت زیر رابطه بالا را ساده تر میکنیم:
(1-39) ρ=∑_i▒〖ω_i |Ψ_i>〗<Ψ_i |
در نتیجه:
(1-40) [A]=∑_(b ́,b^”)▒〖<b^” |ρ| b ́><b ́ 〗 |A| b^(” )>=∑_(b^”)▒< b^” |ρA| b^”>=Tr(ρA)
عملگر Tr(M) ، رد ما تریس M است و بصورت TrM ̂= ∑_n▒M_nn تعریف میشود.
در اینجا ما هم ماتریس چگالی را تعریف کردیم و هم یک رابطه مفید برای متوسط مجموعه ای یک مشاهده پذیر با استفاده از مجموعه سیستمهای کوانتومی را به دست آوردیم.
برای مجموعه خالص ماتریس چگالی بصورت زیر میباشد:
(1-41) ρ=|Ψ_i><Ψ_i |

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

و برای مجموعه آمیخته بصورت زیر می باشد:
(1-42) ρ=∑_i▒〖ω_i | Ψ_i><Ψ_i |〗
حال برای اینکه اطلاعاتی از سیستم را در زمانهای مختلف داشته باشیم و برای به دست آوردن تحول زمانی مقدار چشمداشتی به فکر تحول زمانی ماتریس چگالی می افتیم.
از رابطه ماتریس چگالی نسبت به زمان مشتق می گیریم و در iℏ ضرب می کنیم.
(1-43) iℏ ∂ρ/∂t=iℏ ∑_i▒〖ω_i [(∂/∂t│Ψ_i (r,t)>)<Ψ_i (r,t)┤|+ |Ψ_i (r,t)>(∂/∂t<Ψ_i (r,t)┤|)] 〗
با یادآوری معادله شرودینگر، رابطه بالا ساده تر نیز خواهد شد:
(1-44-الف) iℏ ∂ρ/∂t=∑_i▒〖ω_i (H |Ψ_i (r,t)><Ψ_i (r,t)|-|Ψ_i (r,t〗)><Ψ_i (r,t)|H )
(1-44- ب) iℏ ∂ρ/∂t=Hρ- ρH

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید